Quasi-invariant and Super-coinvariant Polynomials for the Generalized Symmetric Group

The aim of this work is to extend the study of super-coinvariant polynomials, introduced in [2, 3], to the case of the generalized symmetric group Gn,m, defined as the wreath product Cm ≀ Sn of the symmetric group by the cyclic group. We define a quasi-symmetrizing action of Gn,m on Q[x1, . . . , xn], analogous to those defined in [12] in the case of Sn. The polynomials invariant under this action are called quasi-invariant, and we define super-coinvariant polynomials as polynomials orthogonal, with respect to a given scalar product, to the quasi-invariant polynomials with no constant term. Our main result is the description of a Gröbner basis for the ideal generated by quasi-invariant polynomials, from which we dedece that the dimension of the space of super-coinvariant polynomials is equal to m Cn where Cn is the n-th Catalan number. Résumé. Le but de ce travail est d’étendre l’étude des polynômes super-coinvariants (définis dans [2]), au cas du groupe symétrique généralisé Gn,m, défini comme le produit en couronne Cm ≀ Sn du groupe symétrique par le groupe cyclique. Nous définissons ici une action quasi-symétrisante de Gn,m sur Q[x1, . . . , xn], analogue à celle définie dans [12] dans le cas de Sn. Les polynômes invariants sous cette action sont dits quasi-invariants, et les polynômes super-coinvariants sont les polynômes orthogonaux aux polynômes quasi-invariants sans terme constant (pour un certain produit scalaire). Notre résultat principal est l’obtention d’une base de Gröbner pour l’idéal engendré par les polynômes quasi-invariants. Nous en déduisons alors que la dimension de l’espace des polynômes super-coinvariants est m Cn où Cn est le n-ième nombre de Catalan.